Matematikte bazı pozitif tam sayıların pozitif bölenleri toplamı, sayının kendisinin iki katına eşittir. Bu tür sayılara mükemmel sayı denir.
Örneğin 6 sayısını ele alalım: 1, 2, 3 ve 6 bu sayının bölenleridir ve tüm bu bölenlerin toplamı, yani 1+2+3+6, sayının iki katı olan 12’ye eşittir. Bu yüzden 6 ilk mükemmel sayıdır. Aynı şekilde 28 de mükemmel bir sayıdır çünkü bölenleri toplamı, yani 1+2+4+7+14+28, sayının iki katı olan 56’ya eşittir. Bunlardan başka 496 ve 8128 de mükemmel sayılardandır. Bu sayıların mükemmel sayı olduğunu, bölenlerini toplayarak kendiniz de görebilirsiniz.
Mükemmel sayıların pozitif bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 2’dir.
Örnek olarak 6 mükemmel sayısını verelim.
Pozitif çarpanları olan 1, 2, 3, 6’nın çarpmaya göre terslerini toplarsak:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2
Mükemmel sayıların yetenekleri sadece bölenleri toplamı olmasıyla sınırlı değildir. Örneğin mükemmel sayılar daima birbirini izleyen bir dizi sayma sayısının toplamına eşittir. Bunu aşağıdaki birkaç örnekle açıklayalım:
- 6=1+2+3
- 28=1+2+3+4+5+6+7
- 496=1+2+3+…+30+31
- 8128=1+2+..+126+127