Soru : Bir eğlence parkındaki 5 m yarıçaplı düşey bir silindir, kendi ekseni etrafında, içindeki kişinin düşey yüzeyde güvenli bir şekilde düşmeden durmasına yetecek büyüklükte bir açısal hızla dönmektedir. Düşey zemin ile kişi arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,5 olduğuna göre silindir bir dakikada kaç tur atmaktadır? Silindirin açısal hızı artırıldığında içindeki kişinin denge durumunda bir değişiklik meydana gelir mi? Açıklayınız. (g = 10 m/s2 , π = 3 alınız.)
Ödev cevabı kısaca : Silindir, bir dakikada 2π tur atar ve açısal hızı 1 rad/s olarak hesaplanır. İçindeki kişinin düşmeden durabilmesi için gereken merkezcil ivme, yerçekimi ivmesi ve statik sürtünme katsayısı ile ilişkilidir ve bu ilişki açısal hız ile ilgili değildir. Bu nedenle, açısal hız artırıldığında içindeki kişinin denge durumunda bir değişiklik olmaz.
İçindeki kişinin düşmeden durabilmesi için, sürtünme kuvvetinin merkezcil ivme ile dengede olması gerekir. İlk olarak, içindeki kişinin düşmeden durabilmesi için gereken minimum merkezcil ivmeyi hesaplayalım.
Sürtünme kuvveti (Fs), içindeki kişinin düşmemesi için gereken merkezcil ivme (ac) ile dengede olmalıdır:
Fs = m * ac
Burada:
- Fs, sürtünme kuvveti,
- m, içindeki kişinin kütlesi.
Sürtünme kuvveti, statik sürtünme katsayısı (μs) ile normal kuvvetin (Fn) çarpımıdır:
Fs = μs * Fn
Normal kuvvet, yer çekimi kuvvetine (Fg) eşittir:
Fn = Fg = m * g
Burada:
- μs, statik sürtünme katsayısı,
- Fn, normal kuvvet,
- Fg, yer çekimi kuvveti,
- g, yerçekimi ivmesi.
Şimdi sürtünme kuvvetini yeniden ifade edelim:
Fs = μs * m * g
Sürtünme kuvveti, merkezcil ivme ile dengede olduğuna göre:
μs * m * g = m * ac
m terimlerini sadeleştirelim:
μs * g = ac
İçindeki kişinin düşmeden durabilmesi için gereken merkezcil ivme (ac) bu denklemle μs * g olarak bulunur.
Şimdi silindirin açısal hızını hesaplayabiliriz. Silindirin açısal hızı, düşey eksende dönmesi gereken bir daire hareketinin hızıdır ve bu hızı hesaplamak için merkezcil ivme ve yarıçapı (R) kullanabiliriz:
ac = v2 / R
ac'yi daha önce μs * g olarak hesapladık, şimdi v'yi bulalım:
μs * g = v2 / R
v^2 = μs * g * R
v = √(μs * g * R)
v = √(0,5 * 10 m/s² * 5 m)
v = √(25 m²/s²)
v = 5 m/s
Şimdi, silindirin açısal hızını hesaplamak için bu hızı dönme yarıçapı ile ilişkilendirelim:
v = ω * R
ω = v / R
ω = (5 m/s) / 5 m
ω = 1 rad/s
Silindir bir tur atarken 2π radyan döner, bu nedenle silindirin bir dakikada attığı tur sayısını hesaplamak için ω'yi kullanabiliriz:
Tur sayısı = (2π rad/tur) * ω
Tur sayısı = (2π rad/tur) * (1 rad/s)
Tur sayısı = 2π tur/dakika
Sonuç olarak, silindir bir dakikada 2π tur atar. Açısal hızı artırıldığında içindeki kişinin denge durumunda bir değişiklik olmaz çünkü sürtünme kuvveti ve merkezcil ivme arasındaki ilişki sabittir ve açısal hız ile ilgili değildir.