Sıra Sizde 1
EKOK(8, 20) = EKOK(42, 105) = EKOK(4, 15) =
EKOK(18, 25) = EKOK(66, 22) = EKOK(60, 70) =
EKOK(8, 20) =
8 20 | 2
4 10 | 2
2 5 | 2
1 5 | 5
1
(8 , 20) EKOK = 2³ x 5 = 8 x 5 = 40
8 ile 20 sayılarının ekoku = 40'tır.
EKOK(42, 105
42 105 | 3
14 35 | 7
2 5 | 2
1 5 | 5
1
tüm çarpanlarını çarpalım ; 3.7.2.5 => 210'dur.
2, 3, 5 ve 7 sayıları 42 ile 105'in asal çarpanlarıdır.
42 ve 105'in en küçük ortak katı / EKOK'u 210'dur.
EKOK(4, 15)
4 15 | 2
2 15 | 2
1 15 | 3
5 | 5
1
tüm çarpanlarını çarpalım ; 2.2.3.5 = 60'dır.
2, 2, 3 ve 5 sayıları 4 ile 15'in asal çarpanlarıdır.
4 ve 15'in en küçük ortak katı / EKOK'u 60'dur.
EKOK(18, 25)
18 25 | 2
9 25 | 3
3 25 | 3
1 25 | 5
5 | 5
1
tüm çarpanlarını çarpalım ; 2.3.3.5.5 = 450'dır.
2, 3, 3, 5 ve 5 sayıları 18 ile 25'in asal çarpanlarıdır.
18 ve 25'in en küçük ortak katı / EKOK'u 450'dur.
EKOK(66, 22)
66 22 | 2
33 11 | 3
11 11 |11
1 1
tüm çarpanlarını çarpalım ; 2.3.11 = 66'dır.
2, 3, 3 ve 11 sayıları 66 ile 22'in asal çarpanlarıdır.
66 ve 22'in en küçük ortak katı / EKOK'u 66'dur.
EKOK(60, 70)
60 70 | 2
30 35 | 2
15 35 | 3
5 35 | 5
1 7 | 7
1
tüm çarpanlarını çarpalım ; 2.2.3.5.7 = 420'dır.
2, 2, 3, 5 ve 7 sayıları 60 ile 70'in asal çarpanlarıdır.
60 ve 70'in en küçük ortak katı / EKOK'u 420'dur.
Sıra Sizde 2
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) İki saatten biri 28 dakika ve diğeri 30 dakika arayla çalmaktadır.
Bu saatler, 11.52’de aynı anda çaldıktan sonra tekrar saat kaçta birlikte çalar?
Soruda bahsedilene göre, iki adet saat mevcuttur.
Bu saatlerden birisi, her 28 dakikada bir çalmaktadır.
Diğer saat de her 30 dakikada bir çalmaktadır.
Bu saatler, ilk defa 11:52 saatinde aynı anda çalmışlardır.
Bu saatler yeniden saat kaçta çalarlar?
Bu soruda, EKOK (en küçük ortak kat) kuralını kullanacağız.
28 30 l 2
14 15 l 2
7 15 l 3
7 5 l 5
7 1 l 7
1
Sağda bulduğumuz ortak katları şimdi birbirleri ile çarpalım.
2.2.3.5.7 = 420 sonucuna ulaşırız. Bu 420 sayısı, 420 dakika demektir. 420 dakikayı 11:52 saatinin üzerine eklemeliyiz.
420 dakika, 7 saat demektir.
11:52 + 07:00 = 18:52 olarak bulunur.
Biri 28 dakikada bir, diğeri de 30 dakikada bir çalan saatler, ilk defa 11:52'de aynı anda çalıyorsa bir sonraki aynı anda çaldıklarında saat 18:52 olacaktır.
b) 16 yaşındaki Hayri ve kendisinden 6 yaş küçük kardeşi Selin, her hafta
sonu Halime ninelerini ziyaret ederler.
Halime ninenin yaşı Hayri ve Selin’in yaşlarının en küçük ortak katının 5
fazlası olduğuna göre Halime nine en az kaç yaşındadır?
Öncelikle soruyu kavrayalım. Bu iki kardeşin birinin yaşı 16'ymış. Kardeşinin yaşı ise kendisinden 6 yaş küçükmüş. O zaman küçük kardeşin yaşı da 16-6= 10 işleminden; 10 olur.
Büyük kardeş → 16
Küçük kardeş → 10
Bir de Halime teyzemiz var. Bu teyzemizin yaşı ise; iki kardeşin yaşlarının en küçük ortak katının 5 fazlasıymış. Bu durumda önce en küçük ortak kat kavramını hatırlamamız gerekiyor.
EKOK veya OKEK "en küçük ortak katın kısaltmasıdır. Peki EKOK nasıl bulunur?
Şimdi kardeşlerin yaşlarının ekok'unu bulalım.
10 16 I 2
5 8 I 2
5 4 I 2
5 2 I 2
5 1 I 5
1
Ekok(16,10) = 2.2.2.2.5 = 16.5 = 80
Teyzenin yaşı ekok'un 5 fazlasıydı:
80+5 = 85 Yani cevap → 85
c) A üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere A/9 ve A/12 ifadelerinin değeri birer doğal sayı ise A’nın en küçük değeri kaçtır?
Burada önce ekoku bulup, sonra bulduğumuz sonucu katlamalıyız.
9 12 | 2
9 6 | 2
9 3 | 3
3 1 | 3
1
EKOK ( 9 , 12 ) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36
36 katları; 36, 72, 108
A sayısı en küçük kat olarak 108'dir
ç) İki zil sırasıyla 45 dakika ve 50 dakika arayla çalıyor. Bu iki zil, aynı anda çaldıktan kaç dakika sonra tekrar birlikte çalar?
İki zilin tekrar birlikte çalma süresini bulmak için, 45 dakika ile 50 dakika sürelerinin EKOK değerini bulmamız gerekir ki, kaç dakika sonra tekrar birlikte çalacağını bulabilelim:
45 50 | 2
45 25 | 3
15 25 | 3
5 25 | 5
1 5 | 5
1 1
EKOK değeri bulurken, bölebildiğimiz her asal çarpanı alır ve yan yana çarparız. Bu da bize EKOK değerini verir:
EKOK (45,50)= 2* 3²*5²
EKOK (45,50)= 2* 9* 25
EKOK (45,50)= 18*25= 450 dakika olur.
450 dakikayı saat ve dakika cinsinden yazacak olursak,
1 saat 60 dakika ise,
x saat 450 dakika eder. İçler dışlar çarpımından;
450*1= 60*x
x= 450/60
x= 7 saat 30 dakika sonra bu iki zil tekrar birlikte çalarlar.
d) Bir bahçedeki ağaçlar üçer ve beşer sayıldığında her defasında 1 ağaç artıyor. Bahçede 25’ten fazla ağaç olduğu bilindiğine göre bahçede en az kaç ağaç vardır?
Öncelikle sorudaki olayı anlamaya çalışalım. Ağaçlar 3'erli ve 5'erli sayılıyor. Her sayıldığında 1 çiçek boşta kalıyor. O zaman biz 3 ve 5'in ekok'unu bulursak sonra bu değeri artan 1 çiçek sayısını eklersek; ağaç sayısının en az değerini buluruz. Bulduğumuz bu değerin katlarını alarak 25'ten büyük en küçük değeri bulabiliriz.
Çok önemli bir not ⇔ Aralarında asal olan iki sayının ekoku; bu iki sayının çarpımına eşittir. Örneğin 5 ve 13 sayısı aralarında asaldır ve bu iki sayının ekoku; çarpımlarına eşittir. Yani 5.13 = 65'dir.
3 ve 5 sayıları da aralarında asal olduğu için:
Ekok(3,5) = 3.5 = 15
Bir de her defasında 1 ağaç artıyordu:
15 + 1 = 16
Şimdi bu sayının katlarını alalım.
16.1 = 16 (25'ten küçük)
16.2 = 32 (25'ten büyük en küçük değer)
Cevabımız → 32