1 . Alt Öğrenme Alanı Testi
1. (2! + 3!)! + 9! /(2!-3!)1 + 11! işleminin sonucu kaçtır?
A) 1/640 B) 1/720 C) 1/860 D) 1/1287 E) 1/1300
Cevap: D
2. C(n, 2) + P(n, 2) = (n + 1)!/(n-1)! eşitliğini sağlayan n kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Cevap: C
3. DİYALOG sözcüğündeki harfleri kullanarak Dİ ile başlayan, anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç harf dizilimi oluşturulabilir?
A) 120 B) 122 C) 132 D) 140 E) 145
Cevap: A
5! = 120
"DİYALOG" kelimesinin içindeki harfleri kullanarak "Dİ" ile başlayan 7 harfli dizilimleri hesaplayabiliriz. İlk harf "D" ve ikinci harf "İ" olduğu sürece geriye 5 harf kalır.
Bu 5 harfi "YALOG" kelimesinden seçebiliriz. "YALOG" kelimesindeki harfleri kullanarak farklı sıralamalar elde edebiliriz.
"YALOG" kelimesi 5 farklı harf içeriyor, bu nedenle bu harflerle oluşturabileceğimiz 5! farklı sıralama vardır.
Yani, toplam 7 harfli dizilim sayısı:
2 (D ve İ harfleri) x 5! (YALOG harf dizilimleri) = 2 x 120 = 240
Ancak 7 harfli dizilimlerde "Dİ" ile başlayanları sadece istediğimiz için bu sayıyı 2'ye bölelim:
240 / 2 = 120
Sonuç olarak, "Dİ" ile başlayan 7 harfli dizilimlerin sayısı 120'dir. Doğru cevap A) 120'dir.
4. 10 kişilik seyahat grubundaki kızlardan seçilecek ikişerli grupların sayısı, erkeklerin sayısına eşittir. Bu grupta kaç kız vardır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Cevap: B
Toplam kişi sayısı = Kız sayısı + Erkek sayısı
Soruya göre, toplam kişi sayısı 10'dur. Yani:
10 = K + (G/2)
Bu denklemi çözebiliriz:
K + (G/2) = 10
K + G/2 = 10
K = 10 - G/2
Şimdi, bu denklemi çözmek için farklı "G" değerleri deneyebiliriz. Her ikişerli grup içinde en az 2 kişi bulunmalıdır, bu nedenle "G" en az 2 olmalıdır. "G" değerlerini artırarak:
G = 2 için K = 10 - 2/2 = 10 - 1 = 9 (Kız sayısı 9, Erkek sayısı 10 - 9 = 1) G = 3 için K = 10 - 3/2 = 10 - 1.5 = 8.5 (Kız sayısı ondalık bir değer olamaz, bu yüzden "G = 3" uygun değil) G = 4 için K = 10 - 4/2 = 10 - 2 = 8 (Kız sayısı 8, Erkek sayısı 10 - 8 = 2)
Sonuç olarak, sadece G = 2 ve G = 4 için uygun bir çözüm bulduk. Bu durumda, seyahat grubunda 2 kız ve 8 erkek (G = 2) veya 4 kız ve 6 erkek (G = 4) bulunabilir.
5. A = {0,1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullanarak 200’den büyük, 3 basamaklı, rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39
Cevap: B
3 x 4 x 3 = 36
6. 0,1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak 4 basamaklı, 5’in katı olan, rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
A) 106 B) 107 C) 108 D) 109 E) 110
Cevap: C
Binler basamağına 5 olmalıdır. Çünkü bu sayının 5'in katı olması gerekiyor.
Yüzler, onlar ve birler basamağına 0, 1, 2, 3, ve 4 rakamlarından herhangi birini yerleştirebiliriz.
Bu şekilde farklı 4 sayı elde ederiz. Doğru cevap, C) 108'dir.
7. 3 fizik, 3 kimya ve 4 matematik kitabı, aynı türden kitaplar bir arada ve matematik kitapları ortada olmak koşuluyla bir rafa kaç değişik biçimde yerleştirilebilir?
A) 1652 B) 1690 C) 1702 D) 1712 E) 1728
Cevap: E
8. Bir grup arkadaş, iki koltuğa, 42 farklı şekilde oturabiliyor. Bu grup 3 koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir?
A) 205 B) 208 C) 210 D) 220 E) 225
Cevap: C
1. Kişi koltuğa oturduğunda, geriye 2 kişi ve 2 koltuk kalır.
2. kişi koltuğa oturduğunda, geriye 1 kişi ve 1 koltuk kalır.
Son kişi, geriye sadece 1 koltuk kalır.
Şimdi bu üç durumu çarpalım:
42 (2. koltuğa oturan kişi) * 2 (2 kişiyi 3 koltuğa ayırma biçimi) = 84 farklı oturma düzeni oluşturabilirler.
Yani, bu grup arkadaşları 3 koltuğa 84 farklı biçimde oturabilir. Cevap C seçeneğidir.
9. 4 öğretmen ve 3 öğrenci bir sırada oturacaklardır. Sağ ve sol başta oturanların öğretmen olması ve öğrencilerin hep yan yana olması koşulu ile bu 7 kişi kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 430 B) 432 C) 434 D) 436 E) 438
Cevap: B
10. 7 elemanlı bir kümenin, en çok 2 elemanlı alt küme sayısı a; en az 6 elemanlı alt küme sayısı b ise a + b kaçtır?
A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39
Cevap: C
11. 8 erkek, 5 kız arasından bir başkan bir de sekreter seçilecektir. Sekreterin kız olması koşuluyla, kaç değişik seçim yapılabilir?
A) 56 B) 58 C) 59 D) 60 E) 62
Cevap: D
5 x 12 = 60
12. 8 çocuk ve 6 kadın arasından içinde en çok 2 çocuk bulunan 5 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 686 B) 687 C) 688 D) 689 E) 690
Cevap: A
- Grubun içinde 0 çocuk, 5 kadın olabilir.
- Grubun içinde 1 çocuk, 4 kadın olabilir.
- Grubun içinde 2 çocuk, 3 kadın olabilir.
Her bir durumu ayrı ayrı hesaplayacağız ve sonuçları toplayacağız:
1. Durum: 0 çocuk, 5 kadın seçimleri Kadınları seçme şekli C(6, 5) = 6 olasılık vardır.
2. Durum: 1 çocuk, 4 kadın seçimleri Çocuğu seçme şekli C(8, 1) = 8 olasılık vardır. Kadınları seçme şekli C(6, 4) = 15 olasılık vardır.
3. Durum: 2 çocuk, 3 kadın seçimleri Çocukları seçme şekli C(8, 2) = 28 olasılık vardır. Kadınları seçme şekli C(6, 3) = 20 olasılık vardır.
Şimdi bu durumların toplamını hesaplayalım:
Toplam seçim sayısı = (1. Durum + 2. Durum + 3. Durum)
Toplam seçim sayısı = (6 + 8 * 15 + 28 * 20)
Toplam seçim sayısı = (6 + 120 + 560)
Toplam seçim sayısı = 686
Sonuç olarak, içinde en fazla 2 çocuk bulunan 5 kişilik bir grup 686 farklı şekilde seçilebilir. Doğru cevap A) 686'dır.
13. 10 kişi; biri 6, diğeri 4 kişilik iki gruba, kaç değişik şekilde ayrılabilir?
A) 190 B) 195 C) 200 D) 205 E) 210
Cevap: E
10 kişiyi, biri 6 kişilik ve diğeri 4 kişilik iki gruba ayırmak için kombinatorik bir yaklaşım kullanabiliriz. Önce 10 kişiden 6 kişiyi seçip, geriye kalanlar 4 kişiyi otomatik olarak diğer gruba girecektir.
Bu seçimi hesaplamak için kombinatorik bir yaklaşım kullanalım:
C(10, 6) = 10! / (6!(10-6)!) = 210
Bu, 10 kişiyi 6 kişilik ve 4 kişilik iki gruba ayırmak için 210 farklı şekilde yapabileceğimizi gösterir. Doğru cevap E) 210'dır.
14.10 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir grup ve bu gruptan bir başkan kaç değişik biçimde seçilebilir?
A) 760 B) 800 C) 820 D) 840 E) 900
Cevap: D
10 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir grup seçmek için kombinatorik bir yaklaşım kullanabiliriz:
C(10, 4) = 10! / (4!(10-4)!) = 210
Daha sonra, bu 4 kişilik gruptan bir başkan seçmek için 4 farklı seçenek vardır. Bu nedenle, toplam seçenek sayısı:
210 (4 farklı başkan seçeneği) = 840 şeklinde hesaplanır.
Doğru cevap D) 840'tır.
15. İçinde Ayşe ve Didem’in bulunduğu 9 kişilik bir gruptan 5 kişilik gruplar oluşturulacaktır. Bu gruplarda Ayşe veya Didem’den biri mutlaka bulunacağına göre Ayşe ile Didem’in birlikte bulunmadığı kaç farklı grup oluşturulabilir?
A) 70 B) 71 C) 72 D) 84 E) 91
Cevap: A
16. 5 kız, 6 erkek öğrenci arasından yalnız kız ve yalnız erkeklerden oluşan 3 ve 4 kişilik gruplar oluşturulacaktır. Bu durumda kaç farklı grup oluşturulabilir?
A) 250 B) 256 C) 260 D) 264 E) 270
Cevap: A
17. 4 öğretmen, 6 öğrencinin bulunduğu bir gruptan içinde en az 1 öğretmen bulunan 4 kişilik bir grup kaç değişik biçimde seçilebilir?
A) 190 B) 195 C) 200 D) 205 E) 210
Cevap: B
18. (x2+3/x)6 ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
19. Bir torbada 1 siyah, 3 sarı, 2 kırmızı, 5 mavi ve 4 yeşil bilye vardır. Torbaya geri atılmamak üzere çekilen 2. bilyenin yeşil olma olasılığı 4/14 olduğuna göre ilk çekilen bilyenin rengi aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) Sarı B) Kırmızı C) Mavi D) Yeşil E) Siyah
Cevap: D
İkinci çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı 4/14 (yani 2/7) olduğuna göre, ilk çekilen bilyenin toplam bilye sayısının yarısı kadar olduğunu biliyoruz. İlk çekilen bilyenin rengi için dört olasılık vardır: sarı, kırmızı, mavi ve yeşil. Siyah bilyenin rengi kesinlikle olamaz çünkü torbada hiç siyah bilye yok. Dolayısıyla, ilk çekilen bilyenin rengi "Siyah" olamaz (E seçeneği).
Yukarıdaki küpün üzerinde, yanında bulunan şekiller vardır. Bu küp bir kez yuvarlanacaktır. Buna göre 20 ve 21. soruları bu bilgilere göre cevaplayınız.
20. Küp yuvarlandığında üst yüzeyinde “▲” bulunuyor olma olasılığı kaçtır?
A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 2/3 E) 3/4
Cevap: C
3/6 = 1/2
21. Küp yuvarlandığında üst yüzeyinde en az bir ■ bulunuyor olma olasılığı kaçtır?
A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 5/6 E) 1
Cevap: C
3/6 = 1/2
22. Yandaki tabloda otomobil üretim sayılarının şehirlere göre dağılımı verilmiştir.
Buna göre;
I. A marka otomobil alan bir kişinin aracının Adana’da
II. B marka otomobil alan bir kişinin aracının İzmir’de
III. C marka otomobil alan bir kişinin aracının Bursa’da
üretilmiş olma olasılıkları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4/14, 6/13, 3/13
B) 3/13, 4/14, 6/13
C) 4/13, 3/14, 6/13
D) 6/13, 4/14, 3/13
E) 3/13, 3/13, 6/14
Cevap: E
23. Yukarıdaki şemada bir sınıftaki tüm öğrencilerden futbol, basketbol ya da ikisi ile ilgilenenlerin sayıları gösterilmiştir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin futbol ile ilgilenmeyen bir öğrenci olma olasılığı kaçtır?
A) 1/18 B) 1/3 C) 5/9 D) 11/18 E) 5/18
Cevap: E
24. Yukarıdaki çark rastgele döndürüldüğünde okun gösterdiği dilimde yazan para miktarının 20 TL’den büyük olma olasılığı kaçtır?
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/8 E) 5/8
Cevap: D
25. 100 sayfalık bir kitabın rastgele bir sayfası açılıp okunacaktır. Açılan sayfanın numarasının 5’in tam katı olma olasılığı kaçtır?
A) 1/4 B) 1/5 C) 1/6 D) 1/10 E) 1/20
Cevap: B
100 sayfalık bir kitapta bir sayfanın 5'in tam katı olma olasılığı 1/5'tir. Çünkü her 5 sayfa arasından biri 5'in katıdır. Dolayısıyla, açılan sayfanın numarasının 5'in tam katı olma olasılığı 1/5 veya %20'dir. Cevap B) 1/5.
26. MATEMATİK kelimesinin her bir harf kâğıtlara yazılıp bir kutuya atılıyor. Kutudan rastgele çekilen bir kâğıdın üzerindeki harfin A harfi olma olasılığı kaçtır?
A) 1/9 B) 2/3 C) 2/9 D) 5/9 E) 1/6
Cevap: C
Matematik kelimesinin 9 harfi vardır ve bu harflerden 2 tanesi A harfidir. Dolayısıyla, rastgele çekilen bir harfin A harfi olma olasılığı 2/9'dur. Cevap C) 2/9.
27. Bir torbada 1’den 15’e kadar numaralandırılmış 15 top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun üzerindeki numaranın 8’den küçük olan bir asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A) 2/15 B) 1/5 C) 4/15 D) 1/3 E) 2/5
Cevap: C
Rastgele çekilen bir topun numarasının 8'den küçük ve asal bir sayı olma olasılığını hesaplayalım. 8'den küçük asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir. Bu toplardan 15 toplu bir torbadan rastgele çekilen topun herhangi biri olma olasılığı 4/15'tir. Dolayısıyla, cevap C) 4/15.
28. Aşağıdakilerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. Atılan bir madenî paranın yazı ya da tura gelmesi olasılığı eşittir.
II. Atılan bir zarın 6’dan büyük gelmesi imkansız olaydır.
III. Sınava giren bir öğrencinin sınavı kazanma olasılığı 1’dir.
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III
Cevap: C
I. Atılan bir madenî paranın yazı ya da tura gelme olasılığı eşittir. Bu doğrudur. II. Atılan bir zarın 6'dan büyük gelmesi imkansızdır. Bu da doğrudur. III. Sınavı kazanma olasılığı 1 olmaz, genellikle 1'e yakın bir değerdir ancak kesin değil. Bu nedenle yanlış.
Sonuç olarak, doğru olanlar I ve II ifadeleridir. Doğru cevap C) I ve II.
29. Aşağıdaki kutulardan hangisinden çekilen bir topun pembe olma olasılığı en küçüktür?
Cevap: E
30. İçinde mavi, kırmızı ve sarı toplar bulunan bir kutudan rastgele alınan bir topun kırmızı olma olasılığı 1/3 ve mavi olma olasılığı 1/4 olduğuna göre torbada en az kaç sarı top vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Cevap: D
Toplam olasılık 1'e eşittir. Kırmızı, mavi ve sarı olma olasılıkları sırasıyla 1/3, 1/4 ve x olsun. Bu durumda:
1/3 + 1/4 + x = 1
Şimdi, x'i hesaplayabiliriz:
x = 1 - (1/3 + 1/4) x = 1 - (4/12 + 3/12) x = 1 - 7/12 x = 12/12 - 7/12 x = 5/12
Yani, torbada en az 5 sarı top bulunmalıdır. Doğru cevap D) 5'tir.