1. 2 Konu Değerlendirme Soruları
1. Aşağıdaki deneylere ait örnek uzayları ve bunlara ait olayların kümesini yazınız.
a. Hilesiz madenî iki paranın havaya atılması deneyinde, en az bir yazı gelmesi olayı
Hilesiz madenî iki paranın havaya atılması deneyi için örnek uzay (S) ve en az bir yazı gelmesi olayının kümesi (E) şu şekildedir:
Örnek Uzay (S): S = {(T, T), (T, Y), (Y, T), (Y, Y)}
Olay (E) - En az bir yazı gelmesi: E = {(T, Y), (Y, T), (Y, Y)}
b. Hilesiz bir zarın masaya atılması deneyinde, üst yüze gelen sayının 5 olması olayı
Hilesiz bir zarın masaya atılması deneyi için örnek uzay (S) ve üst yüze gelen sayının 5 olması olayının kümesi (E) şu şekildedir:
Örnek Uzay (S): S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Olay (E) - Üst yüze gelen sayının 5 olması: E = {5}
c. Hilesiz bir zarın masaya atılması deneyinde, üst yüze gelen sayının en az 1 olması olayı
Hilesiz bir zarın masaya atılması deneyi için örnek uzay (S) ve üst yüze gelen sayının en az 1 olması olayının kümesi (E) şu şekildedir:
Örnek Uzay (S): S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Olay (E) - Üst yüze gelen sayının en az 1 olması: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ç. Hilesiz iki zarın masaya atılması deneyinde, üst yüze gelen sayıların aynı olması olayı
Hilesiz iki zarın masaya atılması deneyi için örnek uzay (S) ve üst yüze gelen sayıların aynı olması olayının kümesi (E) şu şekildedir:
Örnek Uzay (S): S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Olay (E) - Üst yüze gelen sayıların aynı olması: E = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
2. Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerleri uygun bir şekilde doldurunuz.
a. Hilesiz bir madenî paranın havaya atılması deneyinde üste gelen yüzün yazı veya tura olması olayı kesin olay, paranın dik gelmesi olayı ise imkânsız olaydır.
b. Bir örnek uzayda tanımlanan her bir olayın gerçekleşme olasılıkları aynı ise bu tür olaylara eşit olasılıklı olaylar adı verilir.
c. Bir örnek uzayın iki ayrı olayının kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık (disjoint) olaylar denir.
ç. Aynı örnek uzaydaki A ve B olayları karşılıklı dış (mutually exclusive) olaylar olduğunda P(A) + P(B) = 1 olur.
3. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara “ D ” , yanlışsa “ Y ” yazınız.
(D) a. Hilesiz bir zarın üst üste 4 kez havaya atılması deneyinde örnek uzay 216 elemanlı olur.
(Y) b. A imkânsız olay ise P ( A ) = 1’dir.
(D) c. E = { a, b, c, d, e } kümesi eş olasılı bir örnek uzay ise P({a}) = 1/5’tir.
4. Hilesiz üç madenî para aynı anda havaya atılıyor.
Paranın üst yüzüne en az 1 kez tura gelmesinin olasılığı kaçtır?
Üç madenî paranın üst yüzüne en az 1 kez tura gelmesi, toplam 8 farklı durumu içerir. Bu durumlar şunlardır:
- Tura - Tura - Tura
- Tura - Tura - Yazı
- Tura - Yazı - Tura
- Yazı - Tura - Tura
- Tura - Yazı - Yazı
- Yazı - Tura - Yazı
- Yazı - Yazı - Tura
- Yazı - Yazı - Yazı
Her bir durumun olasılığı P(T) * P(T) * P(T) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8'dir.
1 - 1/8 = 7/8 Tura gelme olasılığıdır.
5. A, B, C gibi üç atın koştuğu bir yarışta A’nın kazanma olasılığı B’nin kazanma olasılığının 4 katı, C’nin kazanma olasılığının da 3 katıdır. Buna göre yarışı B atının kazanma olasılığı kaçtır?
A / 12A
B / 3A
C / 4A
3A / 19A = 3/19
6. Hilesiz bir zar, yüzlerindeki her bir sayının gelme olasılığı o sayının karesi ile orantılı olacak şekilde düzenlenerek hileli bir hâle dönüştürülüyor.
Bu zar ile oynanan bir oyunda en çok 3 atmak oyunu kazanmak anlamına geliyorsa oyunu kazanma ve kazanamama olasılıklarını bulunuz.
1/A, 2/4A, 3/9A, 4/16A, 5/25A, 6/36A
Kazanma 14/91
Kazanmama 77/91
Toplam olasılık, tüm olasılıkların toplamıdır ve 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91'dir.
Oyunu kazanma olasılığı = 14 / 91
Oyunu kazanamama olasılığı = 1 - (Oyunu kazanma olasılığı) = 1 - (14 / 91) = 77/91
7. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin her biri kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor.
Torbadan rastgele çekilen kartta 2’nin yazıp 5’in yazmaması olasılığı kaçtır?
24 = 16
26 = 64
16 / 64 = 1/4
8. 3 ile tam bölünen tüm iki basamaklı doğal sayılar arasından seçilen bir sayının, 4 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
3 ile tam bölünen sayılar: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99
4 ile tam bölünen sayılar: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96
Şimdi, 3 ile tam bölünen ve 4 ile tam bölünen sayıları göz önünde bulundurarak, bu iki özellikteki sayıları listeleyelim:
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96
Bu sayıların hepsi hem 3 ile hem de 4 ile tam bölünebilen sayılardır.
Toplamda 8 adet iki basamaklı doğal sayı vardır ki hem 3 ile hem de 4 ile tam bölünebilen sayılardır.
İki basamaklı doğal sayıların toplam sayısı 90'dır (10 ile 99 arası).
Bu nedenle, 3 ile tam bölünen bir sayının 4 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı:
P(4 ile tam bölünen | 3 ile tam bölünen) = (İki özellikteki sayıların sayısı) / (Toplam iki basamaklı doğal sayıların sayısı) = 8 / 90 = 4 / 45
Sonuç olarak, 3 ile tam bölünen bir sayının 4 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı 4/45'tir.
9. Bütün yüzleri eşkenar üçgen olan piramite düzgün dörtyüzlü denir. Bir düzgün dört yüzlünün üç yüzünde A , bir yüzünde T harfi yazılıdır. Bu düzgün dört yüzlü bir kez havaya atıldığında yan yüzlerinde sırası ve yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme olasılığı kaçtır?
1-1/4 = 3/4
10. İçinde 3 mavi, 4 kırmızı özdeş top bulunan bir torbadan rastgele iki top çekme deneyi yapılıyor.
a. Çekilen toplardan 1.sinin mavi, 2.sinin kırmızı olması
b. Çekilen topların farklı renkte olması Yukarıda verilen iki olayın olasılıklarını bularak
karşılaştırınız. Olasılıkların arasındaki farklılıkların nedenlerini açıklayınız.