1.2.2 Öğrendiğimizi Uygulayalım
1. Hilesiz iki madenî parayı aynı anda havaya attığımızda üste gelen yüzlerinin farklı olma olasılığını bulunuz.
S = {(T, T), (T, Y), (Y, T), (Y, Y)}
Üste gelen yüzlerin farklı olma olayı (F), örnek uzayda (S) üste gelen yüzlerin farklı olduğu durumları temsil eder. Yani (T, Y) ve (Y, T) durumlarını içerir. Bu durumların toplam sayısı 2'dir.
F = {(T, Y), (Y, T)}
P(Üste Gelen Yüzlerin Farklı Olması) = P(F) / P(S)
P(Üste Gelen Yüzlerin Farklı Olması) = 2 / 4 = 1/2
Sonuç olarak, iki madenî parayı aynı anda havaya attığınızda, üste gelen yüzlerin farklı olma olasılığı 1/2 veya %50'dir.
2. Hilesiz iki zarın havaya atılması deneyinde üste gelen sayıların birbirinden farklı olma olasılığını bulunuz.
Her bir zarın üst yüzü 1'den 6'ya kadar altı farklı sayı içerebilir. Bu nedenle her zarın üst yüzünün farklı olma olasılığı yüksektir.
Örnek Uzay (S): İki zarın tüm olası sonuçlarını içerir. İlk zarın üst yüzü için altı olası sonuç ve ikinci zarın üst yüzü için yine altı olası sonuç vardır. Bu nedenle örnek uzay şu şekildedir:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Üste gelen sayıların birbirinden farklı olma olayı (F), örnek uzayda (S) üste gelen sayıların birbirinden farklı olduğu durumları temsil eder. Yani (1, 2) ve (2, 1) gibi durumları içerir. Bu durumların toplam sayısı 30'dur.
F = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
Şimdi üste gelen sayıların birbirinden farklı olma olasılığını hesaplayabiliriz:
P(Üste Gelen Sayıların Birbirinden Farklı Olması) = P(F) / P(S)
P(F) ise üste gelen sayıların birbirinden farklı olduğu durumların sayısıdır, yani 30'dur. P(S) ise örnek uzayın tüm olası sonuçlarının sayısıdır, yani 36'dır.
P(Üste Gelen Sayıların Birbirinden Farklı Olması) = 30 / 36 = 5/6
Sonuç olarak, hilesiz iki zarın havaya atılması deneyinde, üste gelen sayıların birbirinden farklı olma olasılığı 5/6 veya yaklaşık %83.33'tür.
3. Hilesiz bir zar atıldığında üste gelen sayının,
a. En çok 6 olma olasılığını bulunuz. --> 1 [1,2,3,4,5,6}
b. 0 ( sıfır ) olma olasılığını bulunuz. --> 0
4. Bir zar, yüzlerindeki her bir sayının gelme olasılığı sayıyla doğru orantılı olacak şekilde düzenlenerek hileli bir hâle dönüştürülüyor.
Bu zar ile oynanan bir oyunda en çok 2 atmak oyunu kazanmak anlamına geliyorsa oyunu kazanma ve kazanamama olasılıklarını bulunuz.
1 → K
2 → 2K
3 → 3K
4 → 4K
5 → 5K
6 → 6K
21K = 6
K = 6/21 = 2/7
Kazanma 1/7
Kazanamama 1-1/7 = 6/7
5. Hilesiz iki zar atılması deneyinde;
a. Üste gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığını bulunuz.
b. Üste gelen sayıların toplamının en az 5 olma olasılığını bulunuz.
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Şimdi soruları sırasıyla ele alalım:
a. Üste gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığı: Üste gelen sayıların toplamı 9 olması için kaç farklı durum olduğunu sayalım. İşte bu durumlar:
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
Bu dört durum, üste gelen sayıların toplamının 9 olduğu durumları temsil eder. Her biri 1/36 olasılıkla gerçekleşir (çünkü her bir zarın altı farklı yüzü vardır ve toplam 36 olası sonuç vardır).
Bu durumları toplamak için her birinin olasılığını toplarız:
P(Toplam 9) = P(3, 6) + P(4, 5) + P(5, 4) + P(6, 3) = (1/36) + (1/36) + (1/36) + (1/36) = 4/36 = 1/9
b. Üste gelen sayıların toplamının en az 5 olma olasılığı: Üste gelen sayıların toplamının en az 5 olması için hangi durumların uygun olduğunu düşünelim. İşte bu durumlar:
(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
Bu durumlar, üste gelen sayıların toplamının en az 5 olduğu durumları temsil eder. Her biri 1/36 olasılıkla gerçekleşir.
Bu durumları toplamak için her birinin olasılığını toplarız:
P(Toplam En Az 5) = ΣP(Durum) (Tüm uygun durumlar için olasılıkları toplarız) = (1/36) + (1/36) + ... + (1/36) (toplam 30 terim)
P(Toplam En Az 5) = (30/36) = 5/6
Sonuç olarak: a. Üste gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığı: 1/9 b. Üste gelen sayıların toplamının en az 5 olma olasılığı: 5/6
6. A olayı, E örnek uzayında bir olay olsun. A olayının olma ve olmama olasılıkları arasında 3 . P ( A' ) = 5 . P ( A ) eşitliği bulunduğuna göre A olayının olma olasılığını bulunuz.
7. Bir koşuda Ahmet'in koşuyu kazanma olasılığı, Emin'in kazanma olasılığının 3 katıdır. Ziya'nın koşuyu kazanma olasılığı da Ahmet'in kazanma olasılığının beşte biridir.
Buna göre yarışı Emin'in kazanma olasılığını bulunuz.
8. A ve B olayları, E örnek uzayında herhangi iki olay olsun. P(A') = 2/3 ve P(B) = 4 / 5 olduğuna göre A ile B ' olaylarının olma olasılıklarını bulup A ve B olaylarının ayrık olaylar olup olmadıklarını bulunuz.
9. 24 kişilik bir sınıfta futbol, basketbol ve futbol ile basketboldan ikisini oynayan öğrenciler bulunmaktadır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin futbol oynuyor olma olasılığı 3/4
olduğuna göre sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin basketbol oynayan bir öğrenci olma olasılığının en küçük değerini bulunuz.
F / 24 = 3 / 4
F = 18
Futbol oynayan 18 kişi
24 - 8 + 1 / 24 = 7/24